Наукова школа «Симетрійний аналіз рівнянь математичної фізики»

Галузь науки – математика.

Напрями науково-технічної діяльності – вивчення та класифікація симетрійних властивостей рівнянь математичної фізики; застосування груп інваріантності рівнянь математичної фізики для репродукції цих рівнянь та знаходження їх точних розв’язків; вивчення симетрійних властивостей математичних моделей; вибір з усіх моделей тих, що задовільняють принципам відносності Галілея й Пуанкаре-Енштейна; застосування вивчених властивостей до репродукції вихідних рівнянь та знаходження їх точних розв’язків.

Види дослідження – фундаментальні дослідження.

Науковий керівник – доктор фізико-математичних наук, завідувач кафедри вищої математики Сєров Микола Іванович.

Професор Сєров М.І. є засновником і керівником з 1984 року наукової школи «Симетрійний аналіз рівнянь нелінійної математичної фізики». Автор понад 100 наукових праць, у тому числі 6-х монографій. Науковою школою, яку очолює Сєров М.І., проводяться дослідження симетрійних властивостей та знаходження точних розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними. Під керівництвом Сєрова М.І. вісім його колишніх аспірантів підготували до захисту та захистили кандидатські дисертації і ще один аспірант готується до захисту у 2018 році.

За останні роки були проведені дослідження галілеєвської, конформної, нелокальної та умовної симетрії різних рівнянь математичної фізики, розробка та застосування алгоритму нелокальних формул розмноження розв’язків рівнянь деяких з цих рівнянь.

За результатами досліджень зроблено ряд доповідей на наукових конференціях у Полтавському національному технічному університеті імені Юрія Кондратюка, на семінарах відділу прикладних досліджень Інституту математики НАН України, на багатьох всеукраїнських та міжнародних конференціях.

Науковими дослідженнями зараз займаються: 1 доктор наук, 7 кандидатів науки та 1 аспірант.

За результатами досліджень за останні три роки опубліковано 2 монографії, одна з яких у зарубіжному видавництві CRC Press, Taylor & Francis Group «Nonlinear reaction-diffusion-convection equations: Lie and conditional symmetry, exact solutions and their applications» та понад 60 робіт як у вітчизняних так і зарубіжних виданнях, захищено кандидатську дисертацію. Представники кафедри регулярно рецензують статті у наукових виданнях, що входять до НМБД «Scopus».

Науковцями кафедри виконана науково-дослідницька робота, що розроблювалася за рахунок видатків загального фонду державного бюджету «Дослідження галілеївської інваріантності систем нелінійних рівнянь математичної фізики еволюційного типу» (0112U002321, 01.01.2012 р. – 31.12.2014 р.).

Практична цінність і новизна одержаних результатів полягає в повному описі симетрії певних класів нелінійних диференціальних рівнянь із частинними похідними залежно від вигляду нелінійностей, які входять у дане рівняння та систему. Результати такої роботи дозволяють із визначених класів рівнянь і систем вибрати ті, які мають широкі симетрійні властивості, тобто задовольняють принципи відносності Галілея, Пуанкаре-Ейнштейна тощо. Унаслідок цього виділені рівняння та системи є претендентами на описання конкретних фізичних процесів.

Характеристика отриманих результатів роботи школи:

1. Знайдено непервні перетворення еквівалентності нелінійної системи рівнянь реакції-конвекції-дифузїї та основну алгебру інваріантності даної системи;

2. Вказано зображення алгебри Галілея з масою для системи-реакції-конвекції дифузїї та доведено, що дана система інваріантна відносно такої алгебри тоді і тільки тоді, коли нелінійності мають один із нееквівалентних тринадцяти виглядів;

3. Встановлено вигляд розширеної алгебри Галілея з масою для системи реакції конвекції дифузїї та доведено, що існує лише вісім нееквівалентних виглядів нелінійностей системи реакції-конвекції-дифузії, при яких вона інваріантна відносно алгебри Галілея з масою, розширеної оператором масштабних перетворень;

4. Досліджено зображення узагальненої алгебри Галілея з масою для системи реакції-конвекції-дифузії та встановлено, що вона інваріантна відносно даної алгебри тоді і тільки тоді, коли з точністю до неперервних перетворень еквівалентності вона має один із семи виглядів. рівнянь з частинними похідними.

5. Застосовуючи інфінітезимальний підхід, виведено загальні формули продовження оператора еквівалентності. Виписано умови еквівалентності системи відносно перетворень, породжених оператором еквівалентності.

6. Побудовано та розв’язано систему визначальних рівнянь для знаходження перетворень еквівалентності системи реакції-конвекції-дифузії.

7. Сформульовано та доведено теорему про встановлення групи неперервних перетворень еквівалентності системи реакції-конвекції-дифузії.

8. Побудовано та розв’язано систему визначальних рівнянь для знаходження перетворень еквівалентності системи конвекції-дифузії.

9. Сформульовано та доведено теорему про знаходження групи неперервних перетворень еквівалентності системи конвекції-дифузії.

10. Введено загальні поняття про основні групу та алгебру інваріантності системи.

11. Знайдено систему визначальних рівнянь для системи реакції-конвекції-дифузії.

12. Сформульовано та доведено теорему про відшукання основної алгебри інваріантності системи рівнянь реакції-конвекції-дифузії.

13. Знайдено систему визначальних рівнянь для системи конвекції-дифузії.

14. Сформульовано та доведено теорему про знаходження основної алгебри інваріантності системи рівнянь конвекції-дифузії.

15. Уточнено вигляд інфінітезимального оператора, якщо відносно нього інваріантна система реакції-конвекції-дифузії. Доведено відповідну теорему.

16. Уточнено вигляд інфінітезимального оператора, якщо відносно нього інваріантна система конвекції-дифузії. Доведено відповідну теорему.

Основні результати були строго доведені, самі доведення представлені у вигляді теорем. Усі результати однозначно інтерпретуються з точки зору математичної фізики.

Викладачі кафедри проводять науково-дослідницькі роботи за наступними напрямками:

- симетрійний аналіз нелінійних багатовимірних рівнянь математичної фізики – Сєров М.І., Сєрова М.М., Блажко Л.М., Омелян О.М., Ічанська Н.В., Тулупова Л.О., Плюхін О.Г., Рассоха І.В.

- застосування різних математематичних методів, алгоритмів, задач в різних галузях промисловості. – Наливайко Л.Г.

- активізація пізнавальної діяльності студентів технічних університетів у процесі вивчення математичних дисциплін – Рендюк С.П.