Науково-дослідницька робота кафедри вищої та прикладної математики

Під керівництвом професора Сєрова М.І. ведуться фундаментальні дослідження по роботі №84/12 «Дослідження галілеївської інваріантності систем нелінійної рівнянь математичної фізики еволюційного типу», що фінансується з 2012р. за рахунок коштів загальнго фонду державного бюджету.

Мета роботи буде досягнута при виконанні наступних етапів:

– розроблення принципово нового методу класифікації лінійних зображень алгебр Галілея, розширеної алгебри Галілея, узагальненої алгебри Галілея, Пуанкаре, конформної алгебри;

– дослідження інваріантності системи рівнянь конвекції дифузії відносно алгебри Галілея;

– знаходження нелінійностей, при яких система рівнянь конвекції дифузії інваріантна відносно розширеної алгебри Галілея;

– встановлення нелінійностей, при яких система рівнянь конвекції дифузії інваріантна відносно узагальненої алгебри Галілея;

– знаходження нелінійностей, при яких система рівнянь реакції конвекції дифузії інваріантна відносно алгебри Галілея;

– дослідження інваріантності системи рівнянь реакції конвекції дифузії відносно розширеної алгебри Галілея;

– встановлення нелінійностей, при яких система рівнянь реакції конвекції дифузії інваріантна відносно узагальненої алгебри Галілея.

    1. Знайдено непервні перетворення еквівалентності нелінійної системи рівнянь реакції-конвекції-дифузїї та основну алгебру інваріантності даної системи;
    2. Вказано зображення алгебри Галілея з масою для системи-реакції-конвекції дифузїї та доведено, що дана система інваріантна відносно такої алгебри тоді і тільки тоді, коли нелінійності мають один із нееквівалентних тринадцяти виглядів;
    3. Встановлено вигляд розширеної алгебри Галілея з масою для системи реакції конвекції дифузїї та доведено, що існує лише вісім нееквівалентних виглядів нелінійностей системи реакції-конвекції-дифузії, при яких вона інваріантна відносно алгебри Галілея з масою, розширеної оператором масштабних перетворень;
    4. Досліджено зображення узагальненої алгебри Галілея з масою для системи реакції-конвекції-дифузії та встановлено, що вона інваріантна відносно даної алгебри тоді і тільки тоді, коли з точністю до неперервних перетворень еквівалентності вона має один із семи виглядів. рівнянь з частинними похідними.
    5. Застосовуючи інфінітезимальний підхід, виведено загальні формули продовження оператора еквівалентності. Виписано умови еквівалентності системи відносно перетворень, породжених оператором еквівалентності.
    6. Побудовано та розв’язано систему визначальних рівнянь для знаходження перетворень еквівалентності системи реакції-конвекції-дифузії.
    7. Сформульовано та доведено теорему про встановлення групи неперервних перетворень еквівалентності системи реакції-конвекції-дифузії.
    8. Побудовано та розв’язано систему визначальних рівнянь для знаходження перетворень еквівалентності системи конвекції-дифузії.
    9. Сформульовано та доведено теорему про знаходження групи неперервних перетворень еквівалентності системи конвекції-дифузії.
    10. Введено загальні поняття про основні групу та алгебру інваріантності системи.
    11. Знайдено систему визначальних рівнянь для системи реакції-конвекції-дифузії.
    12. Сформульовано та доведено теорему про відшукання основної алгебри інваріантності системи рівнянь реакції-конвекції-дифузії.
    13. Знайдено систему визначальних рівнянь для системи конвекції-дифузії.
    14. Сформульовано та доведено теорему про знаходження основної алгебри інваріантності системи рівнянь конвекції-дифузії.
    15. Уточнено вигляд інфінітезимального оператора, якщо відносно нього інваріантна система реакції-конвекції-дифузії. Доведено відповідну теорему.
    16. Уточнено вигляд інфінітезимального оператора, якщо відносно нього інваріантна система конвекції-дифузії. Доведено відповідну теорему.

Основні результати були строго доведені, самі доведення представлені у вигляді теорем. Усі результати однозначно інтерпретуються з точки зору математичної фізики.

Результати наукових розробок використовуються при вивченні курсу «Спеціальні розділи вищої математики» студентами ІІІ курсу електромеханічного факультету.

Викладачі кафедри проводять науково-дослідницькі роботи за наступними напрямками

Симетрійний аналіз нелінійних багатовимірних рівнянь математичної фізики – Сєров М.І., Сєрова М.М., Блажко Л.М., Плюхін О.Г., Омелян О.М., Ічанська Н.В., Тулупова Л.О., Рассоха І.В.

Застосування різних математичних методів, алгоритмів, задач в різних галузях промисловості. – Наливайко Л.Г.

Активізація пізнавальної діяльності студентів технічних університетів у процесі вивчення математичних дисциплін – Рендюк С.П.