Навчальний курс 131БОК4 Вища математика

Визначники та матриці. Метод Крамера. Визначники різних порядків, означення, властивості, обчислення. Мінори й алгебраїчні доповнення. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР), розв’язування методом Крамера. Матриці, види матриць, лінійні операції, множення, обертання. Матричний метод розв’язання СЛАР. Визначники 2-го та 3-го порядків. Метод Крамера. Дії з матрицями. Обернена матриця. Ранг матриці. Системи лінійних рівнянь, теорема Кронекера-Капеллі, розв’язування методоми Гаусса. Геометричні вектори. Вектори, способи завдання, лінійні операції. Лінійні операції з векторами. Добутки векторів. Скалярний, векторний і мішаний добутки, властивості. Практичне тлумачення, вираження через координати множників. Застосування. Аналітична геометрія. Вступ до математичного аналізу. Пряма на площині. Пряма на площині. Різні рівняння, взаємне розташування, метричні задачі. Лінії другого порядку (коло, еліпс, гіпербола, парабола). Властивості, рівняння, застосування. Перетворення координат на площині. Поняття про спрощення загальних рівнянь ліній другого порядку. Параметричне завдання ліній. Конкретні приклади: пряма, еліпс, астроїда, циклоїда. Полярна система координат, її зв’язок з прямокутною декартовою, приклади ліній у полярних координатах. Границі функцій. Множини, дії з ними, відображення множин, послідовність, функція. Класифікація функцій, елементарні функції. Границя послідовності та функції. Нескінчені малі та великі. Теореми про нескінчені малі та про границі. Порівняння нескінченно малих. Техніка знаходження границь. Стандартні границі (перша та друга). Неперервність функцій, означення, класифікація точок розривів, теореми про неперервні функції. Диференціальне числення функцій однієї змінної. Похідна, означення, практичні тлумачення, прості застосування. Правила диференціювання. Диференційованість і неперервність. Диференціювання основних елементарних функцій, неявних і параметрично заданих функцій. Похідні вищих порядків. Диференціал, геометричне тлумачення, інваріантність форми першого диференціала. Застосування. Теореми про диференційовані функції (Ролля, Лагранжа, Лопіталя). Формули Тейлора та Маклорена. Застосування диференціального числення. Похідні та елементи поведінки функцій (монотонність, екстремум, опуклість, кривина). Асимптоти. Загальна схема дослідження функцій за допомогою похідної. Практичні задачі на екстремум. Інтегральне числення функцій однієї змінної. Невизначений інтеграл. Первісна та невизначений інтеграл, властивості. Невизначене інтегрування заміною змінної та частинами. Стандартна техніка невизначеного інтегрування. Інтегрування із застосуванням таблиць. Інтеграли, що не виражаються через елементарні функції. Інтегрування із застосуванням таблиць. Інтегрування заміною змінної. Інтегрування частинами. Інтегрування спеціальних класів функцій. (Інтегрування раціональних дробів. Інтегрування ірраціональних функцій. Інтегрування тригонометричних функцій.) Інтегрування спеціальних класів функцій. Визначений інтеграл. Визначений інтеграл, означення, властивості. Практичне тлумачення, прості практичні задачі. Похідна інтеграла зі змінною верхньою межею. Формула Ньютона-Лейбніца. Стандартна техніка визначеного інтегрування. Стандартна техніка визначеного інтегрування. Застосування визначеного інтеграла. Геометричні застосування визначеного інтеграла (площі фігур, довжини ліній, об’єми деяких тіл та площі поверхонь). Геометричні застосування визначеного інтеграла. Фізичні застосування визначеного інтеграла. Невласні інтеграли з нескінченими межами та від необмежених функцій. Дослідження на збіжність, ознаки збіжності. Обчислення невласних інтегралів. Аналітична геометрія у просторі. Функції кількох змінних. Прямокутна декартова система координат у просторі. Прямі лінії та площини. Площина та пряма у просторі. Різні рівняння, взаємне розташування, метричні задачі. Площина та пряма у просторі. Поверхні другого порядку. Поверхні другого порядку, рівняння, зображення. Циліндрична та сферична система координат у просторі. Поверхні другого порядку, рівняння, зображення. Функції кількох змінних та їх диференціювання. Означення функції кількох змінних. Границі, неперервність. Частинні похідні. Повний диференціал. Геометричне тлумачення. Застосування. Похідна складеної функції, повна похідна.Частинні похідні та повні диференціали вищих порядків. Неявні функції, існування, диференціювання. Частинні похідні. Повний диференціал. Застосування диференціального числення функцій кількох змінних. Скалярне поле, похідна за напрямом, градієнт, практичне тлумачення. Екстремум. Необхідні та достатні умови екстремуму. Умовний екстремум. Метод найменших квадратів, випадки лінійної та квадратичної залежності. Вектор-функція скалярного аргументу, її диференціювання. Кривина та кручення. Похідна за напрямом. Градієнт. Екстремум. Умовний екстремум. Диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння першого порядку. Основна термінологія. Диференціальні рівняння першого порядку, існування та єдиність розв’язку задачі Коші. Інтегрування у квадратурах у стандартних випадках (рівняння з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі). Диференціальні рівняння в моделюванні природничих та інженерних ситуацій. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі. Диференціальні рівняння вищих порядків. Диференціальні рівняння вищих порядків. Задача Коші. Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку. Лінійні однорідні диференціальні рівняння, структура загального розв’язку, розв’язування таких рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння, структура загального розв’язку. Розв’язування методом варіації довільних сталих. Розв’язування неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь другого порядку зі сталими коефіцієнтами у випадку спеціальної правої частини. Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами та спеціальною правою частиною. Системи диференціальних рівнянь. Системи диференціальних рівнянь. Задача Коші для нормальної системи. Матрична форма нормальної системи. Розв’язування нормальної системи лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Розв’язування нормальної системи лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Кратні та криволінійні інтеграли. Подвійні інтеграли. Подвійні інтеграли, властивості, обчислення в декартових координатах. Заміна змінних у подвійних інтегралах. Подвійні інтеграли у полярних координатах. Обчислення подвійних інтегралів. Потрійні інтеграли. Потрійні інтеграли, властивості, обчислення в декартових координатах. Заміна змінних у потрійних інтегралах. Подвійні інтеграли у циліндричних і сферичних координатах. Обчислення потрійних інтегралів. Застосування кратних інтегралів. Геометричні та фізичні застосування подвійних і потрійних інтегралів. Застосування подвійних і потрійних інтегралів. Криволінійні інтеграли. Криволінійні інтеграли за довжиною та координатами, властивості, обчислення, застосування. Формула Гріна, незалежність криволінійного інтеграла від шляху інтегрування. Обчислення криволінійних інтегралів. Ряди. Числові ряди. Ряди, збіжність, сума, необхідна умова збіжності, залишок ряду, лінійні операції з рядами. Стандартні ознаки збіжності рядів з додатними членами. Знакозмінні ряди, види збіжності, знакопочережні ряди. Ознака Лейбніца. Ознаки збіжності рядів з додатними членами. Знакопочережні ряди. Ознака Лейбніца. Степеневі ряди. Функціональні ряди. Степеневі ряди, збіжність. Теорема Абеля. Ряди Тейлора та Маклорена. Стандартні розвинення деяких функцій в степеневі ряди. Застосування степеневих рядів у наближених обчисленнях. Знаходження області збіжності степеневих рядів. Застосування степеневих рядів у наближених обчисленнях. Ряди Фур‘є. Тригонометричні ряди Фур‘є для періодичних функцій з періодом 2, збіжність. Тригонометричні ряди Фур‘є для періодичних функцій з довільним періодом, для парних та непарних функцій. Інтеграл Фур‘є. Перетворення Фур‘є, його властивості. Ряди Фур‘є для періодичних функцій.

Перший рік, осінь – 4 кредити (1 – 4) Залік
Перший рік, весна – 6 кредити (6 – 10) Екзамен

Курс є передумовою для вивчення дисциплін циклу загальної та професійної підготовки

Координатор Syllabus